Radio ρ: Contando infinitos

Matemáticamente, los números naturales están bien definidos por los axiomas de Peano. En nuestra cabeza, también tenemos claro su significado y el proceso de contar, pero resulta extremadamente interesante desarrollarlo desde el punto de vista de la teoría de conjuntos: lo que hacemos todos al contar es establecer una relación entre una lista que hemos memorizado de pequeños (1,2,3,...) y un grupo de cosas. Hay dos aspectos muy profundos de este hecho aparentemente trivial. Uno, el proceso de contar consiste en establecer una biyección (esto es, asociar los elementos uno a uno) entre un subconjunto de la lista de números naturales que nos sabemos y el conjunto de cosas que estamos contando. Dos, no hay ningún impedimento intelectual que nos imposibilite establecer una biyección entre la totalidad de nuestra lista memorizada y otro conjunto de cosas.

Biyección entre conjuntos [dominio público]

Como hemos quedado en que contar es establecer biyecciones (entre conjuntos de cosas y nuestra lista), y la lista que nos sabemos es infinita (no los tenemos todos en la memoria, pero conocemos las técnicas para nombrar números todo lo grandes que queramos, pudiendo extender indefinidamente nuestra lista mental); la conclusión lógica es que, desde el punto de vista teórico e intelectual (evidentemente, no desde el biológico ni el termodinámico), podríamos contar el infinito.

Demos un paso más; digamos que contar algo es demostrar que existe una biyección entre un conjunto patrón (por ejemplo, la lista mental mencionada) y los elementos de ese algo. Éste es un paso de gigante, ya que nos permite contar algo "a lo vago": no hace falta que vaya enumerando de una en una las 10 naranjas que tengo en el cesto si demuestro que hay una biyección entre el conjunto {naranjas de mi cesto} y el conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} (que es un conjunto patrón que uso para contar, igual que una regla tiene una longitud pautada que uso para medir, mediante comparación).

Para números pequeños, probablemente sea más cómodo contar las naranjas a mano que idear una demostración que pruebe la biyección entre ambos conjuntos, pero definitivamente no es así para conjuntos de infinitos elementos. Si lo piensas, con esta definición de contar (tengo 10 naranjas porque he establecido una relación biunívoca entre ellas y los elementos de mi "conjunto patrón 10"), no tengo ningún problema para definir un conjunto patrón de infinitos elementos y llamar infinito a todo conjunto cuyos elementos podamos relacionar 1 a 1 con éste. Y así, podemos mirar a la cara al infinito, violando la advertencia gaussiana de tratar al infinito sólo como un límite, no como un objeto matemático en sí mismo:

"I protest against the use of infinite magnitude as something completed, which is never permissible in mathematics. Infinity is merely a way of speaking, the true meaning being a limit which certain ratios approach indefinitely close, while others are permitted to increase without restriction"

Carl Friedrich Gauss

Pero seríamos muy ingenuos si creyéramos haber sometido matemáticamente al infinito, ya que ¡hay conjuntos infinitos cuyos elementos no podemos relacionar 1 a 1 con los de éste! El conjunto infinito que hemos usado como patrón es sólo una especie de la familia de los infinitos, y por ello deberíamos cambiarle el nombre a algo como "infinito 1" o "infinito numerable", ya que lo hemos creado a partir de nuestra lista de números naturales, pero creo que el nombre que mejor capta la esencia de este conjunto es "infinito listable" ~~(perdón, RAE)~~, porque todos los conjuntos infinitos que podemos enumerar por completo en una única lista pueden ser relacionados mediante biyección con éste. Una de las demostraciones más bellas de las matemáticas por ser a la vez extremadamente sencilla y profunda es el argumento de la diagonal de Cantor, que prueba que no todos los infinitos son relacionables con nuestro infinito numerable (en concreto, prueba que es imposible enumerar o listar el conjunto de los números reales). Os recomiendo que leáis este artículo de Gaussianos para entender esta preciosa demostración.

El autor de la misma, Georg Cantor, miró a la cara al infinito y creó un nuevo tipo de números para cuantificarlo: los números transfinitos, que nos permiten "contar" distintas especies de infinitos, entenderlas y trabajar con ellas. Si os fijáis, la idea no es tan rara: era de esperar que habiendo un "infinito 1", haya también un "infinito 2". Sólo que él empezó en el cero (el eterno debate...) y los llamó ℵ0, ℵ1,...

Es toda una hazaña intelectual que nos demuestra lo filosóficas que son las matemáticas y que plasma como una idea simple (contar un conjunto es relacionarlo con otro conocido) puede llevarnos al asombroso descubrimiento de que unos infinitos son más grandes que otros y podemos clasificarlos, evaluar su magnitud y hasta establecer un sistema de numeración para trabajar con ellos.

"The fear of infinity is a form of myopia that destroys the possibility of seeing the actual infinite, even though it in its highest form has created and sustains us, and in its secondary transfinite forms occurs all around us and even inhabits our minds"

Georg Cantor

Fuentes y lectura recomendada